4.2 Inertia Tensor
4.2.1 Inertia Tensor
Sec 4.1의 결과로 inertia tensor를 얻었다.
\[\textbf{I} = \int_V -\textbf{S}(\textbf{p})\textbf{S}(\textbf{p}) \rho dV\]그런데, $-\textbf{S}(\textbf{p})\textbf{S}(\textbf{p})$를 계산해보면 다음과 같다.
\[\begin{align*} -\textbf{S}(\textbf{p})\textbf{S}(\textbf{p}) &= \begin{bmatrix} p_y^2 + p_z^2 & -p_xp_y & -p_xp_z \\ -p_xp_y & p_z^2 + p_x^2 & -p_yp_z \\ -p_xp_z & -p_yp_z & p_x^2 + p_y^2 \end{bmatrix} \\ \\ &= (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p_x^2 & p_xp_y & p_xp_z \\ p_xp_y & p_y^2 & p_yp_z \\ p_xp_z & p_yp_z & p_z^2 \end{bmatrix} \\ \\ &= (\textbf{p}^T \textbf{p}) \textbf{I}_3 - \textbf{p}\textbf{p}^T \end{align*}\]따라서,
\[\begin{align*} \textbf{I} &= \int_V -\textbf{S}(\textbf{p})\textbf{S}(\textbf{p}) \rho dV \\ &= \int_V \left[ (\textbf{p}^T \textbf{p}) \textbf{I}_3 - \textbf{p}\textbf{p}^T \right] \rho dV \end{align*}\]$\textbf{I}$의 각 성분은 어떤 의미를 가질까?
\[\textbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \end{bmatrix}\]로 생각하면 다음 세 moment of inertia와,
\[I_{xx} = \iiint (p_y^2 + p_z^2) \rho dxdydz \\ I_{yy} = \iiint (p_z^2 + p_x^2) \rho dxdydz \\ I_{zz} = \iiint (p_x^2 + p_y^2) \rho dxdydz \\\]다음 세 product of inertia를 얻는다.
\[I_{xy} = \iiint p_xp_y \rho dxdydz \\ I_{xz} = \iiint p_xp_z \rho dxdydz \\ I_{yz} = \iiint p_yp_z \rho dxdydz \\\]4.2.2 Parallel Axis Theorem
Rigid body의 한 점 $C$에서 계산된 inertia tensor로부터, 임의의 점 $A$에서의 inertia tensor를 계산하고자 할 때.
\[{}^{A} \textbf{I} = {}^{C} \textbf{I} + m (\textbf{p}_C^T \textbf{p}_C) \textbf{I}_3 - \textbf{p}_C\textbf{p}_C^T]\]Moment of inertia와 product of inertia는 다음과 같이 변한다.
\[{}^{A} \textbf{I}_{zz} = {}^{C} \textbf{I}_{zz} + m[x_c^2 + y_c^2] \\ {}^{A} \textbf{I}_{xy} = {}^{C} \textbf{I}_{xy} - mx_cy_c\]