4.1 Rigid Body Dynamics
4.1.1 Why Dyniamics?
이 식은 다음과 같이 해석할 수 있다.
(1) 어떤 힘 $F$가 주어질 때 물체는 어떻게 움직이는가?
(2) 물체의 가속도가 $\ddot{x}$가 되려면 얼만큼의 힘이 필요한가?
우리의 목적은 manipulator에 대한 dynamics. 즉 위 식으로부터 다음을 이끌어내는 것이다.
\[\boldsymbol{\tau} = \textbf{M}(\textbf{q})\ddot{\textbf{q}} + \textbf{V}(\textbf{q}, \dot{\textbf{q}}) + \textbf{G}(\textbf{q})\]4.1.2 Two Approaches
Dynamics를 진행하는데 두 가지 approach가 존재한다.
Energy에 기반해서 접근하는 Lagrangian formulation과 force/torque balance에 기반해서 접근하는 Newton-Euler formulation.
Newton-Euler Formulation
질량이 $M$인 물체에 힘 $F$를 가한 경우를 생각해 보자. 이 Single DOF system을 나타내는 Newton-Euler formulation은
였다.
Lagrangian Formulation
시스템의 Lagrangian $L$은 kinetic energy와 potential energy의 차로 정의된다.
Manipulator의 경우 $L = \frac{1}{2}M \dot{x}^2$이다. Lagrangian approach에서의 운동 방정식은
\[\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\textbf{q}}})-(\frac{\partial L}{\partial \textbf{q}}) = \boldsymbol{\tau}\]이다. 여기에 $L$을 대입하면 다음을 얻는다.
\[\frac{d}{dt}(M \dot{x}) = F\]이는 Newton-Euler approach에서의 $F = M \ddot{x}$와 같다.
4.1.3 Joint Space Dynamics
$\textbf{q}$ : Generalized joint coordinates
$\textbf{M}(\textbf{q})$ : Mass matrix - kinetic energy
$\textbf{V}(\textbf{q}, \dot{\textbf{q}})$ : Centrifugal and Coriolis force
$\textbf{G}(\textbf{q})$ : Gravity forces
$\boldsymbol{\tau}$ : Generalized forces(torque, typically)
4.1.4 Rigid Body
Newtion Equation
Linear momentum의 변화율은 applied force와 같다.
\[\boldsymbol{\phi} = m \textbf{v}\] \[\frac{d}{dt}(m \textbf{v}) = \textbf{F} \\ \textbf{F} = m \textbf{a}\]Euler Equation
Angular momentum의 변화율은 applied moment와 같다.
\[\phi = \textbf{p} \times m \textbf{v}\] \[\frac{d}{dt}(\textbf{p} \times m \textbf{v}) = \textbf{p} \times m \textbf{a} + \textbf{v} \times m \textbf{v} = \textbf{p} \times m \textbf{a}\\ \textbf{N} = \frac{d}{dt}(\textbf{p} \times m \textbf{v})\]Rotational Motion
Rigid body의 angular momentum은 $\sum \textbf{p}_i \times m_i \textbf{v}_i$이므로, 각속도를 사용해 표현하면
\[\phi = \sum m_i \textbf{p}_i \times (\boldsymbol{\omega} \times \textbf{p}_i)\]적분 표현.
\[\phi = \int_V \textbf{p} \times (\boldsymbol{\omega} \times \textbf{p}) \rho dV\]Cross product를 skew-symmetric matrix로 바꾸면
\[\textbf{p} \times (\boldsymbol{\omega} \times \textbf{p}) = \textbf{S}(\textbf{p})(-\textbf{S}(\textbf{p}))\textbf{omega} = -\textbf{S}(\textbf{p})\textbf{S}(\textbf{p})\boldsymbol{\omega}\]따라서, 전체 angular momentum은
\[\phi = \left[ \int_V -\textbf{S}(\textbf{p})\textbf{S}(\textbf{p}) \rho dV \right] \boldsymbol{\omega} = \textbf{I}\boldsymbol{\omega}\]여기서 $\textbf{I}$가 바로 inertia tensor.
이제 Euler equation은
\[\begin{align*} \textbf{N} &= \dot{\phi} = \frac{d}{dt}(\textbf{I}\boldsymbol{\omega}) \\ &= \textbf{I}\dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times \textbf{I}\boldsymbol{\omega} \end{align*}\]이로써 rigid body dynamics를 위한 Newton-Euler Equation 두 개가 완성.