5.1 Discrete-Time System

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5.1.1 이산 블록

Sine Wave 블록을 더블클릭하고 샘플 시간 파라미터를 0.25로 변경한다.

아이콘이 바뀌고 이산 신호를 출력하는 이산 블록이 되었다.

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5.1.2 Unit Delay 블록

라이브러리 브라우저 > Simulink > Discrete > Unit Delay

Unit Delay 블록은 입력 신호를 받아 지정된 샘플 시간동안 그 값을 유지한다. 다음 시간 step에서 이 블록은 이전 입력값을 출력한다. $z$-변환 영역에서, 이 블록은 시간 step 하나만큼의 지연을 나타내는 $\frac{1}{z}$로 표현된다.

신호 출력이 unit step만큼 지연된 것을 확인할 수 있다.

샘플 시간

Unit Delay 블록에는 자체 샘플 시간 파라미터가 있다. 이 파라미터는 기본저긍로 -1로 설정되어 있다. 이는 모델의 다른 위치(이 경우는 Sine Wave)에서 샘플 시간을 상속함을 의미. 만일 신호를 downsampling해야 할 경우, 독립적인 레이트를 지정할 수도 있다.

Unit Delay 블록을 더블클릭하고 샘플 시간을 0.5로 지정하면 다음 결과가 나타난다.

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5.1.3 Difference Equation

마지막으로 파악된 위치, 속도 및 관측값 사이의 시간을 기반으로 자동차의 위치를 설명하는 다음 difference equation(차분 방정식)이 있다고 가정.

\[x[k] = x[k-1] + v \cdot T_{s}\]

이때, 관측값 사이의 시간 $T_{s} = 0.25$는 이 이산 시스템의 샘플 시간.

Discrete dynamic system modelling은 Unit Delay 블록으로 시작하는 것이 좋다.

신호에 레이블을 지정하면 모델에서 상태를 추적하기 용이하다.

$v=10 \textrm{m/s}$ 로 가정하고 우변을 모델링한다. Constant 블록을 추가해 그 값을 10*0.25로 설정하면 된다.

이렇게 모델링한 표현식 $x[k-1] + v \cdot T_{s}$는 $x[k]$와 같다. 따라서 신호 x_k를 Add 블록의 출력 포트에 연결하면 된다.

끝으로 Unit Delay 블록에서 초기 조건을 지정한다. 여기서는 $x[0] = 5 \textrm{m}$로 설정하였다.

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5.1.4 Modeling for Discrete-Time System

연립 방정식에도 마찬가지로 같은 절차를 적용할 수 있다. 모델링의 절차를 정리하면,

(1) 최신 상태는 방정식의 좌변에, 나머지 항은 우변에 오도록 방정식을 정리한다.

\[\begin{align*} x[k] &= x[k-1]+u[k]-u[k-1] \\ u[k] &= \sin [k] \\ \end{align*}\]

(2) 필요한 Unit Delay 블록의 수를 결정한다. 이 경우 방정식에 2개의 지연이 있으므로 2개의 Unit Delay 블록이 필요하다.

\[\begin{align*} x[k] &\rightarrow x[k-1] \\ u[k] &\rightarrow u[k-1] \\ \end{align*}\]

(3) Unit Delay 블록을 추가하고 신호에 레이블을 지정한다.

(4) 방정식의 우변을 구성한다.

(5) 등식을 완성하기 위해 필요에 따라 나머지 신호를 연결한다.

(6) 모든 샘플 시간과 초기 조건을 설정한다.