2.2 Unions & Intersections
"한무 합집합 & 한무 교집합"
Union operation으로 두 set의 union $a \cup b$를 얻을 수 있었다. 이 연산을 계속하면 몇십 개 set들의 union들도 얻을 수 있다. 그런데 만약, 무한히 많은 set들의 union을 얻고 싶다면?
다음과 같이 set들의 infinite collection이 있다고 가정하자.
\[A=\{b_{0}, b_{1}, b_{2}, \cdots\}\]이제 모든 $b_{i}$들에 union을 취하고 싶다. 이를 위해서 보다 일반적인 union operation이 필요.
\[\begin{align*} \bigcup A &= \bigcup_{i} b_{i} \\ &= \{x \ |\ x \textrm{ belongs to some member } b_{i} \textrm{ of }A\} \\ \end{align*}\]이제 다음과 같이 정의할 수 있다.
Definition 2.2.1
임의의 set $A$에 대해, $A$의 union $\bigcup A$는 다음과 같이 정의된다.
\[\bigcup A = \{ x \ |\ (\exists b \in A)\ x \in b\}\]그러므로 $\bigcup A$는 $A$의 모든 member들을 전부 섞어서 때려박은 짬통.
Example 2.2.2
$A = \{ \{2,4,6 \}, \{6, 16\}, \{0\} \}$이면,
\[\begin{align*} \bigcup A &= \bigcup \{ \{2,4,6 \}, \{6, 16\}, \{0\}\} \\ &= \{2,4,6,6,16,0 \} \\ &= \{2,4,6,16,0 \} \\ \end{align*}\]이제 union axiom(Axiom 2.1.4)의 완전판을 소개. $A$의 member들의 member들을 원소로 갖는 set이 존재한다.
Axiom 2.2.3 [Union Axiom]
임의의 set $A$에 대해, $A$의 member들의 member들을 정확히 원소로 갖는 set $B$가 존재한다.
\[\forall x\ [x \in B \Leftrightarrow (\exists b \in A)\ x \in b]\]이로부터 $\bigcup A$의 정의가 다음 형태로 표현된다.
\[x \in \bigcup A \Leftrightarrow (\exists b \in A)\ x \in b\]예를 들면,
\[\begin{align*} \bigcup \{ a, b\} &= \{x \ |\ x \textrm{ belongs to some member of } \{a, b\}\} \\ &= \{x \ |\ x \textrm{ belongs to } a \textrm{ or to } b\} \\ &= a \cup b \\ \end{align*}\]비슷하게 다음을 얻을 수 있다.
\[\begin{align*} \bigcup \{ a, b, c, d\} &= a \cup b \cup c \cup d \\ \bigcup \{ a\} &= a \\ \end{align*}\]극단적인 case로, $\bigcup \varnothing = \varnothing$.
같은 방법으로 intersection operation도 일반화 할 수 있겠다. 무한히 많은 set $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \cdots$들의 intersection을 취하고 싶으면
\[A=\{b_{0}, b_{1}, b_{2}, \cdots\}\]일 때, $A$의 intersection은
\[\begin{align*} \bigcap A &= \bigcap_{i} b_{i} \\ &= \{x \ |\ x \textrm{ belongs to every } b_{i} \textrm{ in }A\} \\ \end{align*}\]Union operation과는 다르게, intersection operation을 위해 추가적인 axiom이 필요하지는 않다. 대신,
Theorem 2.2.4
임의의 nonempty set $A$에 대해, 모든 $x$에 대해
\[x \in B \Leftrightarrow x \textrm{ belongs to every member of }A\]를 만족하는 유일한 set $B$가 존재한다.
이 Theorem을 통해 $\bigcap A$가 유일한 set $B$로 결정된다.
Proof.
$A$가 nonempty라고 주어져 있으므로, $A$의 어떤 member $c$를 고정하자. Subset axiom에 의해, 임의의 $x$에 대해
그리고 uniqueness는 여느때와 같이 extensionality로. $\square$
Example 2.2.5
\[\begin{align*} \bigcap \{a\} &= a \\ \bigcap \{a, b\} &= a \cap b \\ \bigcap \{a,b,c\} &= a \cap b \cap c\\ \end{align*}\]생각해 보면, $A$가 커질수록 $\bigcup A$는 커지고 $\bigcap A$는 작아진다.
Exercise 2.2.6
\[\begin{align*} A \subseteq B \Rightarrow \bigcup A \subseteq \bigcup B \\ A \subseteq B \Rightarrow \bigcap B \subseteq \bigcap A \\ \end{align*}\]Proof.
$x \in \bigcup A$를 택한다. 정의에 의해, 어떤 $a \in A$가 존재해서, $x \in a$.
$A \subseteq B$이므로, $a \in B$이다. 그러므로 $x \in \bigcup B$.
이번엔 $y \in \bigcap B$를 택한다. 정의에 의해 모든 $b \in B$에 대해, $y \in b$.
$A \subseteq B$이므로, 모든 $b \in A$에 대해서도 $y \in b$. 그러므로 정의에 의해 $y \in \bigcap A$.
$\square$
Q. 그럼 $A=\varnothing$이면?
임의의 $x$에 대해, $x$가 $\varnothing$의 모든 member에 속한다는 것은 vacuously true. 그렇다면 $\bigcap \varnothing$은 모든 set들의 class $\mathsf{V}$가 되어야 할 것만 같다. Theorem 2.1.13에 의하면 임의의 $x$에 대해서
\[x \in C \Leftrightarrow x \textrm{ belongs to every members of }\varnothing\]를 만족하는 set $C$는 존재하지 않는다. 우변은 모든 $x$에 대해 참이기 때문.
결국 $\bigcap \varnothing$를 어떻게 정의할 것이냐는 문제가 생긴다.1
-
$\bigcap \varnothing$를 정의되지 않은 채로 남기기. 마땅히 좋은 정의가 없으니까.
-
다른 아무 set이나 가져와서(보통은 $\varnothing$) 그 set이 $\bigcap \varnothing$와 같다고 해 버리기.
둘 중 어느 case를 택하든 상관없다. 물론 이제 식 $\ast$에는 $A$, $B$가 nonempty라는 조건이 필요하겠지.
Example 2.2.7
\[b \in A \Rightarrow b \subseteq \bigcup A\]Example 2.2.8
$\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} \in A$이면,
\[\begin{align*} \{ x, y\} &\in \bigcup A \\ x &\in \bigcup \bigcup A \\ y &\in \bigcup \bigcup A \\ \end{align*}\]-
$a \div 0 = ?$ ↩