younghwanjoo1608

ㅎㅇ

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"아무튼 참임"


Axiom이란, 증명 없이 참으로 받아들이는 명제. 이제부터 set theory의 기반은 앞으로 소개할 axiom들이고, 모든 증명과 결과들은 이 axiom들로부터 나온다. Axiom을 사용하지 않는 set theory를 Naive set theory라고 한다.

대체로 axiom들은 당연히 사실로 받아들여지는 가정들이다.

아, 이 axiom 체계는 두 원시적인 개념부터 시작하는데, set과 member. 얘들은 따로 정의하지 않는다.

먼저 이미 알고 있는 두 axiom부터 시작.

Axiom 2.1.1 [Extensionality Axiom]

두 set이 정확히 같은 member를 가지면, 두 set은 같다.

\[\forall A\ \forall B\ [\forall x\ (x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Rightarrow A=B]\]

Axiom 2.1.2 [Empty Set Axiom]

어떤 member도 갖지 않는 set이 존재한다.

\[\exists B\ \forall x\ \ x \notin B\]

Axiom 2.1.3 [Pairing Axiom]

임의의 set $u$, $v$에 대해, 정확히 $u$와 $v$만을 member로 갖는 set이 존재한다.

\[\forall u\ \forall v\ \exists B\ \forall x\ (x \in B \Leftrightarrow x=u \vee x=v)\]

Axiom 2.1.3에 따르면, set $A$와 $B$가 존재할 때, 이 둘을 원소로 갖는 set $\{A, B\}$가 존재한다.

Axiom 2.1.4 [Union Axiom, $\beta$-ver.]

임의의 set $a$, $b$에 대해, $a$ 또는 $b$에 속하는 member들을 member로 갖는 set이 존재한다.

\[\forall a\ \forall b\ \exists B\ \forall x\ (x \in B \Leftrightarrow x\in a \vee x \in b)\]

Sec. 2.2에서 infinite union까지 포함한 완전한 버전의 union axiom이 등장할 것이다.

Axiom 2.1.5 [Power Set Axiom]

임의의 set $a$에 대해, 정확히 $a$의 subset들만을 member로 갖는 set이 존재한다.1

\[\forall a\ \exists B\ \forall x\ (x \in B \Leftrightarrow x\subseteq a)\]

일단은 여기까지. 앞으로 axiom들은 두 배 정도 더 추가된다.

OK. 이제 Ch. 1에서 무지성으로 썼던 기호들을 제대로 정의내릴 수 있게 되었다. 먼저 $\varnothing$부터 시작한다.

Definition 2.1.6

$\varnothing$은 어떤 member도 갖지 않은 set을 말한다.

위 정의는 특정 set에 $\varnothing$라는 이름을 붙인 것이다. 이 정의를 쓰고 싶다면 확실히 해 두어야 하는 조건들이 있다.

  1. member가 없는 set이 존재해야 한다.2
  2. member가 없는 set이 하나보다 많이 존재할 수 없어야 한다.3

위 두 조건을 만족하므로, $\varnothing$는 well-defined(잘 정의되어 있다).

Empty set 말고도 정의했던 다른 set들이 있었다.

Definition 2.1.7

  1. 임의의 set $u$, $v$에 대해, pair set $\{u, v\}$는 오직 $u$와 $v$만을 member로 가지는 set.

  2. 임의의 set $a$, $b$에 대해, union $a \cup b$는 $a$ 또는 $b$에 속하는 member들을 member로 가지는 set.

  3. 임의의 set $a$에 대해, power set $\mathcal{P}(a)$는 정확히 $a$의 subset들을 member로 가지는 set.

Empty set과 마찬가지로, Axiom 2.1.3 ~ Axiom 2.1.5가 위 set들의 존재성을, Axiom 2.1.1이 유일성을 보장한다.

이제 Pairing과 Union Axiom을 이용하면, 주어진 임의의 $x$에 대해, $\{x, x\}$로 정의된 singleton $\{x\}$를 얻고, 주어진 임의의 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$에 대해

\[\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\} = \{x_{1}, x_{2}\} \cup \{x_{3}\}\]

을 정의할 수 있다. 마찬가지로 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\}$도…


Union operation의 정의 다음에는 Intersection operation이 나올 차례다. 그런데 intersection의 정의를 위해선 새로운 axiom이 있어야 할텐데… 일단 현재 우리가 갖고 있는 set existance axiom은 다음과 같은 형태.

\[``\textrm{어떤 set } B \textrm{이 존재해서, 조건 }\underline{　　　 }\textrm{를 만족하는 set } x \textrm{ 들을 member로 갖는다.}"\]

$\underline{　　　 }$에 우리가 만들고자 하는 set을 특징지을 조건을 집어넣으면 된다. 기호로는,

\[\exists B \ \forall x \ (x \in B \Leftrightarrow \underline{　　　 })\]

Axiom이 다른 set들 $t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{k} $를 언급한다면,

\[\forall t_{1}\ \dots \forall t_{k}\ \exists B\ \forall x \ (x \in B \Leftrightarrow \underline{　　　 }) \tag{ $\ast$ }\]

여기서 빈칸은 최대 $t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{k}, x $를 포함하는 표현식.4

Set $B$는 (extensionality에 의해) $t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{k}, x $로부터 유일하게 결정된다. 그러므로 여기에 적절한 이름을 붙일 수 있다. 지금까지 우리가 한 게 바로 이런 일들.

위 문장이 참이면, 집합 $B$는 Ch. 1의 abstraction notation으로 쓰일 수 있다.

\[B = \{ x \ |\ \underline{　　　} \}\]

Example 2.1.8

지금까지 나온 set들을 abstraction notation으로 나타내자.

\[\begin{align*} \varnothing &= \{x \ |\ x \not= x\} \\ \{u, v\} &= \{x \ |\ x=u \vee x=v \} \\ a \cup b &= \{x \ |\ x \in a \vee x \in b\} \\ \mathcal{P}(a) &= \{x \ |\ x \subseteq a \} \\ \end{align*}\]

그럼 $(\ast)$ 형태로 쓰여진 임의의 문장은 참으로 받아들여질까? No!

\[\exists B \ \forall x \ (x \in B \Leftrightarrow x=x)\]

는 거짓이다. 이는 모든 set을 포함하는 set의 존재를 보장하는 문장이기 때문. $(\ast)$가 참이기 위해선 어떤 조건을 가져야 할까?

현재까지 우리가 아는 한에서 얘기하면, $\underline{　　　}$인 set x를 member로 갖는 어떤 class $\mathsf{A}$5가 존재한다.

\[\mathsf{A} = \{x \ |\ \underline{　　　} \}\]

Class $\mathsf{A}$가 set이 되려면 hierarchy의 어떤 층 $V_{\alpha}$에 속해야 한다. 또는 $V_{\alpha}$에 속하는 어떤 set $c$에 속하기만 해도 충분하다. 어떤 $\alpha$에 대해, $\mathsf{A} \subseteq c \subseteq V_{\alpha}$이고, 이로부터 $\mathsf{A} \in V_{\alpha + 1}$.

이렇게 Subset Axiom의 motivation이 완성된다. 임의의 “class” $\mathsf{A}$가 어떤 set $c$에 포함된다면 그건 set이다!

아차, axiom들은 class에 대해선 얘기하면 안 되는데… $\mathsf{A}$를 정의할 표현을 슬쩍 $\underline{　　　}$로 바꿔서…

Axiom 2.1.96

$B$를 포함하지 않는 임의의 formula $\underline{　　　}$에 대해,

\[\forall t_{1}\ \dots \forall t_{k}\ \forall c\ \exists B\ \forall x \ (x \in B \Leftrightarrow x \in c \wedge \underline{　　　 })\]

즉, 이미 주어진 set에 대해 특정 성질을 만족하는 원소들만 모아 놓은 set이 존재한다는 axiom이다.

Axiom 2.1.9는 $c$에 있는 set들 $x$ 중, $\underline{　　　 }$를 만족하는 것들을 member로 갖는 set $B$의 존재를 보장한다. 이 $B$는 유일하게 결정되고, abstraction notation을 변형시켜

\[B = \{ x \in c \ |\ \underline{　　　 }\}\]

로 나타낼 수 있다.

Example 2.1.10

Subset axiom 중의 하나 :

\[\forall a\ \forall c\ \exists B\ \forall x \ (x \in B \Leftrightarrow x \in c \wedge x \in a)\]

이 axiom은 우리가 $c$와 $a$의 intersection이라고 정의하는 $c \cap a$의 존재성을 보장한다.

Example 2.1.11

Subset axiom 중의 하나 :

\[\forall A\ \forall B\ \exists S\ \forall t \ (t \in S \Leftrightarrow t \in A \wedge t \notin B)\]

이 axiom으로 존재가 보장되는 set $S$를 $A$에서의 $B$의 relative complement라고 하며, $A-B$로 나타낸다.

Example 2.1.12

자연수 집합

\[\omega = \{0,1,2,\cdots \}\]

에 대해, subset axiom으로부터 홀수 set과 짝수 set을 각각 만들 수 있다.

자, 이제 Russell’s Paradox(Example 1.1.11)의 해결편이다. 모든 set들의 class $\mathsf{V}$는 set이 아니다!

Theorem 2.1.13

모든 set들을 member로 갖는 set은 존재하지 않는다.

Proof.

$A$를 그러한 set이라고 하자. $A$에 속하지 않는 set을 구성함으로써 모순을 일으키자. 일단,

\[B = \{x \in A \ |\ x \notin x \}\]

를 생각한다. $B \notin A$임을 보일 것이다.

$B$의 정의에 의해,

\[B \in B \Leftrightarrow B \in A \wedge B \notin B\]

$B \in A$를 가정하면, 위 식은 다음 형태로 축약된다.

\[B \in B \Leftrightarrow B \notin B\]

이는 불가능하므로, $B \notin A$를 얻는다. $A$에 포함되지 않는 set이 존재하므로, 모든 set을 포함하는 set $A$는 존재하지 않는다. $\square$


  1. 만약 $x \subseteq a$를 $ \subseteq $의 정의를 이용해 고치면, $$ \forall t \ (t \in x \Rightarrow t \in a) $$ 가 된다. ↩

  2. Empty Set Axiom. ↩

  3. Extensionality Axiom. ↩

  4. Empty set을 이렇게 나타내보자. $k=0$으로 두고, $$ \exists B \ \forall x \ (x \in B \Leftrightarrow x \not= x) $$ ↩

  5. 꼭 set일 필요는 없다. ↩

  6. 정확히 말하면, 이는 axiom(공리)이 아니라 axiom schema(공리꼴)이다. $\underline{　　　}$에 어떤 표현이 들어가느냐에 따라 다른 공리가 될 수 있기 때문. ↩

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