1.4 Collection of All Sets?
"ZF vs NB"
Sec. 1.3에서도 얘기했다. “set of all sets”라는 건 없다!1 그치만 모든 set들의 collection(모임)2이라는 걸 아예 얘기하지 말라고 하면… 이 녀석이 set이 아니라면, 이 녀석을 어떻게 다룰지에 따라 set theory는 두 관점으로 나뉜다.
Zermelo-Fraenkel Alternative
“Set of all sets”라니. 그런 건 set이 아니야. 존재해야 할 이유가 없으니 생각하지 않는다. 설사 그런 개념이 필요하다면, 어떻게든 피해서 다른 표현으로 바꾼다.
von Neumann-Bernays Alternative
“Collection of all sets”를 class(클래스)라고 하자. 이것 말고도 다른 set들의 모임도 class라고 부를 수 있다. 모든 set들은 class이지만, 반대로 class들이 모두 set은 아니다. 어떤 class들은 set이라고 하기엔 너무 크다.
쉽게 말해 Sec.1.3에서 우리가 만든 계층의 어딘가에 속하면 set이지만, 그렇지 않으면 set이 아니고, 다른 set의 member가 되지도 못한다.
여기서는 ZF를 따른다. 모든 것은 set이다. “set of all sets”는 생각하지 않는다. 따라서 앞으로 set이 아닌 class에 대해서 얘기할 일은 거의 없지만… 그래도 필요하다면 class를 $\mathsf{A, B, C},\cdots$로 나타내자.