1.3 Informal View
"아가 Set Theory의 끝"
지금까지는 애매한 Naive set theory. 앞으로는 공리에 근거하여 조금 더 탄탄한 set theory가 진행된다. 그 전에 할 얘기들은 다 해 놓자.
Definition 1.3.1
Set의 member가 될 수 있으나, 그 자체는 set이 아닌 대상들을 atom이라고 한다.1
Atom들의 set을 $A$라고 하자. 이게 우리의 시작. 이를 토대로 다음 hierarchy(계층)를 만든다.
.jpg "Von_Neumann_Hierarchy")
가장 낮은 층에는 atom들의 set $V_{0} = A$가 있다. 다음 층에는 여기에 더해 모든 set of atom도 포함되어야 한다.
\[V_{1} = V_{0} \cup \mathcal{P}(V_{0}) = A \cup \mathcal{P}(V_{0})\]세 번째 층에는 낮은 층의 것들과, 낮은 층의 모든 set들을 포함하고 있어야 한다.
\[V_{2} = V_{1} \cup \mathcal{P}(V_{1})\]일반적으로는,
\[V_{n+1} = V_{n} \cup \mathcal{P}(V_{n})\]이로부터 연속적으로 $V_{0}, V_{1}, V_{2}, \cdots$를 얻는다. 이렇게 무한한 hierarchy를 만들면 언젠간…?
Example 1.3.2
\[\begin{align*} \varnothing &= V_{0} \\ \varnothing &\in V_{1} \\ \{\varnothing\} &\in V_{2} \\ \{\{\varnothing\}\} &\in V_{3} \\ &\vdots \\ \end{align*}\]그러나 아직 우리는 infinite set(무한집합)
\[\{ \varnothing, \{ \varnothing\}, \{\{\varnothing\}\}, \cdots \}\]을 얻을 수가 없다. 층을 $n$번 올라가도, $2n$번 올라가도, $n^{n^{n}}$번 올라가도 여전히 무한집합에 도달할 수가 없다…
이 문제를 해결하기 위해, infinite union
\[V_{\omega} = V_{0} \cup V_{1} \cup \cdots\]을 취하고,
\[V_{\omega + 1} = V_{\omega} \cup \mathcal{P}(V_{\omega})\]로 정의한다. 이제 이를 계속… 이렇게 하면 임의의 $\alpha$에 대해
\[V_{\alpha + 1} = V_{\alpha} \cup \mathcal{P}(V_{\alpha})\]를 얻을 수 있다. 이는 영원히 이어진다…2 만일 이 construction이 끝날 것 같으면 지금까지 얻은 모든 층들의 union을 취하고 거기에 power set을 취해서 다시 위로…
그래서, 왜 이런 계층을 만들었대?
Remark 1.3.3
모든 set은 이 계층들 중 어느 한 곳에서 나타난다.
즉 어떤 set $a$에 대해, 항상 어떤 $\alpha$가 존재해서 $a \in V_{\alpha+1}$이다.
이것이 set이다. Set은, 우리가 만든 계층에서 어떤 층에 속한 녀석이다.
Example 1.3.4
$a$, $b$가 set이라고 하자. $a \in V_{\alpha+1}$, $b \in V_{\beta+1}$이라고 하자. 또, $V_{\beta+1}$이 $V_{\alpha+1}$보다 높은 층에 있다고 하자. 각 층은 낮은 층들과 그들이 가진 모든 것들을 포함하므로, $a$, $b$는 둘 다 $V_{\beta+1}$에 포함되어 있다고 할 수 있다.
반면, 어떤 층에서도 “set of all sets”는 얻을 수 없다. “모든 set들을 member로 갖는 set”이라는 건 존재하지 않는다!
Atom이라는 것 자체는 딱히 쓸모가 없다. 그러므로 생각하지 말자.3 $A=\varnothing$으로 두자. 그러면 위 그림은 다음과 같이 단순해진다.
.jpg "Von_Neumann_Hierarchy2")
우리는 이제 atom은 사용하지 않기로 했으므로, Sec 1.2의 $\forall x$, $\exists x$의 $x$는 단순히 thing $x$가 아니라 set $x$. 앞으로 우리가 생각하는 모든 대상들은 set이다!
Exercise 1.3.5
이제 $A=\varnothing$이므로,
\[V_{\alpha + 1} = V_{\alpha} \cup \mathcal{P}(V_{\alpha})= A \cup \mathcal{P}(V_{\alpha}) = \mathcal{P}(V_{\alpha})\]가 된다. $\alpha<3$일 때 이를 보이자.
Proof.
정의에 따르면 $\alpha = 0$에 대해,
\[V_{1} = V_{0} \cup \mathcal{P}(V_{0}) = A \cup \mathcal{P}(V_{0})\]이를 토대로, $\alpha=1$에서,
\[V_{2} = V_{1} \cup \mathcal{P}(V_{1}) = A \cup \mathcal{P}(V_{0}) \cup \mathcal{P}(V_{1})\]그런데, Execise 1.1.7에 따르면 $V_{0} \subseteq V_{1} \Rightarrow \mathcal{P}(V_{0}) \subseteq \mathcal{P}(V_{1})$이므로,
\[V_{2} = A \cup \mathcal{P}(V_{1})\]그리고 $A=\varnothing$이므로,
\[V_{2} = \mathcal{P}(V_{1})\]$\alpha=2$일 때도 마찬가지. $\square$ 4