1.A Positive Semidefinite Square Root

"정의의 행렬, 악의 행렬"

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임의의 positive semidefinite matrix $\textbf{A}$에 대해 다음과 같은 방법으로 square root matrix $\textbf{A}^{\frac{1}{2}}$를 찾을 수 있다.

$\textbf{A} = \textbf{U}\textbf{D}\textbf{U}^T$가 $\textbf{A}$의 spectral decomposition이라고 하자. $\textbf{A}$가 positive semidefinite이므로 $d_1, d_2, \cdots , d_n \geq 0$이다. 이제 다음과 같이 정의하자.

\[\textbf{A}^{\frac{1}{2}} = \textbf{U}\textbf{E}\textbf{U}^T \textrm{ where }\textbf{E} = \textrm{diag}(\sqrt{d_1}, \sqrt{d_2}, cdots, \sqrt{d_n})\]

그러면,

\[\textbf{A}^{\frac{1}{2}}\textbf{A}^{\frac{1}{2}} = \textbf{U}\textbf{E}\textbf{U}^T\textbf{U}\textbf{E}\textbf{U}^T = \textbf{U}\textbf{E}\textbf{E}\textbf{U}^T = \textbf{U}\textbf{D}\textbf{U}^T = \textbf{A}\]

이제 $\textbf{A}^{\frac{1}{2}}$를 positive semidefinite square root라고 부를 수 있겠다.