younghwanjoo1608

ㅎㅇ

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Sec. 2.5에 따르면, $\mathbb{R}^4$ 위의 rotation은 정확히 map $q \mapsto vqw$와 같았다. 여기서 $v,w$는 unit quaternion. $v^{-1}$이 unit quaternion인 것과 $v$가 unit quaternion인 것은 동치이므로, $q \mapsto v^{-1}qw$ 형태의 map 역시 $\mathbb{R}^4$ 위의 rotation이다. 앞으로는 뒤쪽 notation이 쓰기 더 편할 예정.


Unit quaternion 순서쌍 $(v,w)$는 다음 연산 아래에서 group을 이룬다.

\[(v_1,w_1) \cdot (v_2,w_2) = (v_1v_2, w_1w_2)\]

물론 곱 $v_1v_2$는 일반적인 quaternion product. $v$와 $w$는 unit quaternion들의 group $SU(2)$에서 왔으므로, 순서쌍 $(v,w)$의 group은 direct product $SU(2) \times SU(2)$가 되며 이는 $SU(2)$ 자신이다.


반면 각 순서쌍 $(v,w) \in SU(2) \times SU(2)$을 $SO(4)$의 rotation $q \mapsto v^{-1}qw$로 보내는 map은 homomorphism $\varphi : SU(2) \times SU(2) \rightarrow SO(4)$이다.

(v_1,w_1)에 대응하는 map $q \mapsto v_1^{-1}qw_1$와 (v_2,w_2)에 대응하는 map $q \mapsto v_2^{-1}qw_2$의 product는 map $q \mapsto v_2^{-1}v_1^{-1}qw_1w_2$이고, 이는 $q \mapsto (v_1v_2)^{-1}qw_1w_2$와 같다. 이 map은 $(v_1,w_1)$과 $(v_2,w_2)$의 곱 $(v_1v_2, w_1w_2)$에 대응된다.


이 homomorphism은 $SO(4)$에 surjective. $\mathbb{R}^4$ 위의 각 rotation은 $q \mapsto v^{-1}qw$ 형태로 표현이 가능하기 때문. 어, 그러면 반대로 여러 개의 pair $(v,w)$이 하나의 같은 rotation에 대응될 수도 있지 않나?


Theorem 2.7.1


순서쌍에 의한 rotation representation은 up to sign으로 유일하다.

즉, $(v, w)$가 하나의 특정한 rotation을 표현한다면, 같은 rotation을 주는 다른 순서쌍은 $(-v, -w)$ 뿐이다.


위 Thm.의 증명을 위해서는 다음만 있으면 충분하다.


Lemma 2.7.2


Homomorphism $\varphi : SU(2) \times SU(2) \rightarrow SO(4)$은 2-to-1이다. $\textrm{ker}$에는 두 원소만 있다.


Proof.


$(v,w)$이 kernel에 존재한다고 가정하자. 그러면 $q \mapsto v^{-1}qw$는 identity rotation이 된다. 특히, 이 rotation은 $1$을 고정한다.

\[v^{-1}1w = 1; \qquad \textrm{ hence } v=w\]

그러므로 이 map은 사실 $q \mapsto v^{-1}qv$이다. Sec. 1.4를 되돌아보면, 이 map은 실수축을 고정시킨 채로 pure imaginary quaternion들의 space를 회전시킨다. 오직 $v=1$ 또는 $v=-1$일 때만 모든 것을 고정시킨다. 그러므로 $\varphi$의 kernel은 두 원소만을 갖는다. $(1,1), (-1.-1)$.


그러므로 kernel의 left coset은 다음 2-element set

\[(v,w)(\pm 1, \pm 1) = (\pm v, \pm w)\]

이며 각 coset은 $\mathbb{R}^4$ 위의 서로 다른 rotation에 대응된다. 이는 Thm. 2.2.81에 따른 결과. $\square$


위 결과는 $SO(4)$가 거의 $SU(2) \times SU(2)$와 같다는 걸 말해준다. $SU(2) \times SU(2)$는 simple한 group이 아니다. 순서쌍 $(v,1)$의 group은 nontrivial normal subgroup이 되는데. 이는 당연히 $SU(2) \times SU(2)$ 전체 group이 아니다. 이 아이디어로부터 $SO(4)$가 simple하지 않음을 보일 수 있다.


Theorem 2.7.3

$SO(4)$는 simple group이 아니다.


Proof.


순서쌍 $(v,1) \in SU(2) \times SU(2)$의 subgroup은 normal이다. 또, 이는 map $(v,w) \mapsto (1,w)$의 kernel이 되며, 명백히 homomorphism이다.


이에 대응되는 $SO(4)$의 subgroup은 $q \mapsto v^{-1}q1$ 형태로 구성된다. 유사하게 이는 $SO(4)$의 normal subgroup을 이루지만 $SO(4)$ 전체가 되지 않은다. 예를 들어 여기에는 $q \mapsto qw \textrm{ for any } w \not= \pm 1$은 포함하지 않는다. Thm. 2.7.1 때문. $\square$


$SO(4)$의 조금 흥미로운 subgroup $Aut(\mathbb{H})$를 소개한다. 이는 $\mathbb{H} = \mathbb{R}^4$의 continuous automorphism들로 만들어진다.

Continuous automorphism이란 quaternion sum과 product를 보존하는 continuous bijection $\rho : \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H}$를 말한다.

\[\rho(p+q) = \rho(p) + \rho(q), \quad \rho(pq) = \rho(p)\rho(q) \quad \textrm{ for any }p,q\in \mathbb{H}\]


각 unit quaternion $u$에 대해 $q \mapsto u^{-1}qu$인 $\rho$가 automorphism이 된다. 계산은 간단. 그러므로 Sec. 1.4에 의해 $Aut(\mathbb{H})$는 $SO(3)$ 상에서 3-dim. subspace $\mathbb{R}\textbf{i} + \mathbb{R}\textbf{j} + \mathbb{R}\textbf{k}$(pure imaginary quaternion)의 rotation을 포함하게 된다.

물론 $\mathbb{H}$의 모든 continuous automorphism들은 위 형태로 나타낼 수 있다. 즉 $Aut(\mathbb{H}) = SO(3)$. 증명은 생략.


  1. Fundamental Homomorphism Theorem of Groups. ↩

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