2.6 Direct products

"Group을 끈적하게 뒤섞는 방법"

$\mathbb{R}^4$의 rotation을 group theory의 눈으로 보려면 꼭 필요한 개념.

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Definition 2.6.1

$A$와 $B$를 group이라고 하자.

이들의 direct product $A \times B$는 순서쌍 $(a, b)$, $a\in A, b \in B$의 set으로 다음과 같이 정의된 순서쌍들의 곱 연산을 가진다.

\[(a_1, b_1)(a_2, b_2) = (a_1a_2, b_1b_2)\]

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이 product operation은 associative임은 쉽게 확인할 수 있다. Identity element는 $(1_A, 1_B)$이며, 각각 $1_A$는 $A$의 identity, $1_B$는 $B$의 identity이다. $(a, b)$의 inverse는 $(a^{-1}, b^{-1})$이다. 따라서 direct product $A \times B$는 group이다.

우리가 관심있는 건 nontrivial direct product. $A$도 $B$도 trivial group $\{1\}$이 아닌 경우. 몇 가지 예시를 소개한다.

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Example 2.6.2

Vector addition 연산 아래에서 group $\mathbb{R}^2$는 direct product $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$이다.

더 일반적으로, $\mathbb{R}^n$는 $n$-fold direct product $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}$이다.

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Example 2.6.3

$A$, $B$를 $n \times n$ 행렬들의 group이라고 하자. 그러면 다음 형태의 matrix

\[\begin{bmatrix} a & \textbf{0} \\ \textbf{0} & b \end{bmatrix}, \qquad a \in A, b \in B\]

는 행렬곱 연산 아래에서 group을 이루며 $A \times B$와 isomorphic하다. 여기서 $\mathbf{0}$는 $n \times n$ zero matrix.

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Example 2.6.4

$\mathbb{R}^n$은 $2n \times 2n$ matrix group과 isomorphic하다. 왜냐하면 $\mathbb{R}$는 다음 matrix들의 group과 isomorphic하기 때문.

\[\begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad x \in \mathbb{R}\]

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Example 2.6.5

Group $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$는 (two-dimensional) torus $\mathbb{T}^2$라고 불리는 group이다. 더 일반적으로, $\mathbb{S}^1$의 $n$-fold direct product는 $n$-dimensional torus $\mathbb{T}^n$이다.

$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$를 torus라고 하는 이유는 각 원소 $(\theta, \phi)$, $(\theta, \phi \in \mathbb{S}^1)$가 다음 torus surface 위의 점으로써 볼 수 있기 때문이다.

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Group $\mathbb{R}$과 $\mathbb{S}^1$은 abelian이므로, 모든 direct product $\mathbb{R}^m \times \mathbb{T}^n$ 형태는 abelian.