2.5 Rotations of $\mathbb{R}^4$
"Quaternion만 있으면 뭐든지 할 수 있어"
Definition 2.5.1
Determinant가 양수인 linear map을 orientation-preserving, 나머지를 orientation-reversing이라고 한다.
Def. 2.5.1에 따르면 reflection은 linear이며 orientation-reversing. 따라서 reflection을 짝수 번 취하면 orientation-preserving이 된다. 이제 $\mathbb{R}^n$에서의 rotation을 제대로 정의하자.
Definition 2.5.2
$O$에 대한 $\mathbb{R}^n$의 rotation은 $O$를 고정하는 orientation-preserving isometry로 정의한다.
이제 Thm. 2.4.1 Cartan-Dieudonné Theorem에 의하여 $\mathbb{R}^4$의 임의의 rotation은 $0$, $2$, $4$개 reflection의 product 중 하나이다.
우리의 목표는 rotation을 quaternion의 용어로 표현하는 것. Rotation은 reflection의 곱으로 표현할 수 있으므로, reflection을 어떻게 quaternion으로 표현할 수 있을지만 생각하면 된다.
Theorem 2.5.3
$O$를 통과하고 unit quaternion $u$에 수직인 hyperplane에 대한 $\mathbb{H}=\mathbb{R}^4$의 reflection은 각 $q \in \mathbb{H}$를 $-u \overline{q} u$로 옮기는 map이다.
Proof.
[1. $q \mapsto -u \overline{q} u$는 isometry.]
먼저 map $q \mapsto -q \overline{q}$은 이는 $q$의 실수부를 뒤집고 허수부를 고정시킨다. 당연히 isometry.
또, 질리도록 말하지만, 좌변에 unit quaternion $u$를 곱하는 것은 isometry이다. 1 오른쪽에 곱하는 것도 마찬가지. 따라서 map $q \mapsto -u \overline{q} u$는 isometry.
[2. $q \mapsto -u \overline{q} u$는 reflection.]
$vu$를 어디로 보낼지 확인해보자.
\[\begin{align*} vu \mapsto -u \overline{(vu)} u &= -u \overline{u}\overline{v}u \\ &= - \overline{v}u \end{align*}\]여기서 $u \overline{u} = \vert u \vert^2 = 1$ 성질을 이용.
특히, 이 map은 $u$를 $-u$로 보낸다. 그러므로 $u$에 평행인 모든 벡터들은 뒤집힌다.
또, $\overline{\textbf{i}}=-\textbf{i}$이므로 $\textbf{i}u$는 $\textbf{i}u$로 보내진다. 비슷하게 $\textbf{j}u$는 $\textbf{j}u$로, $\textbf{k}u$는 $\textbf{k}u$로 보내진다.
따라서 $\textbf{i}u$, $\textbf{j}u$, $\textbf{k}u$로 span되는, $u$에 수직인 hyperplane은 고정된다. 그러므로 map $q \mapsto -u \overline{q} u$는 이 hyperplane에 대한 reflection이다. $\square$
이제 rotation 차례. 단 2개의 rotation만 있으면 된다!
Theorem 2.5.4
$O$에 대한 $\mathbb{H}=\mathbb{R}^4$ 임의의 rotation은 $q \mapsto vqw$ 형태의 map이다. 이때 $v, w$는 unit quaternion.2
Proof.
[$\Rightarrow$]
Reflection의 quaternion representation으로부터 나온다. Unit quaternion $u_1, u_2, \cdots , u_{2n}$에 수직인 hyperplane들에 대한 reflection을 연속으로 취하면 다음과 같은 map이 된다.
\[q \mapsto u_{2n} \cdots \overline{u_3}u_2 \overline{u_1}q \overline{u_1}u_2 \overline{u_3} \cdots u_{2n}\]$q$에 앞뒤로 곱해진 두 unit quaternion들 $u_{2n} \cdots \overline{u_3}u_2 \overline{u_1}=v$, $\overline{u_1}u_2 \overline{u_3} \cdots u_{2n}=w$는 일반적으로 서로 다르다. 따라서 $\mathbb{R}^4$의 rotation을 일반적으로 다음 map으로 생각할 수 있다.
\[q \mapsto vqw \qquad v, w \textrm{ are unit.}\][$\Leftarrow$]
임의의 $q \mapsto vqw$ 형태의 map이 rotation임을 보이자. 먼저 unit quaternion을 곱하는 건 isometry. 이제 orientation-preserving인지만 보이면 충분하다.
다음 unit quaternion
\[v = \begin{bmatrix} a+id & -b-ic \\ b-ic & a-id \end{bmatrix}, \qquad a^2+b^2+c^2+d^2=1\]을 곱하는 것은 다음 행렬에 의한 $\mathbb{R}^4$의 linear transformation과 같다.
\[R_v = \begin{bmatrix}\begin{array}{cc|cc} a & -d & -b & c \\ d & a & -c & -b \\ \hline b & c & a & d \\ -c & b & -d & a \end{array}\end{bmatrix}\]여기서 각 $2 \times 2$ submatrix는 $v$의 복소수들. $\textrm{det}$를 확인하면 $1$. 따라서 $v$를 어느 한 쪽에 곱하는 연산은 orientation을 보존한다. $\square$