2.4 Isometry and Reflection
"무지개 반사"
여기서는 $\mathbb{R}^n$의 isometry들이 reflection들의 product로 표현될 수 있음을 보인다. 이 결과는 다음 Sec.에서 요긴하게 쓰일 것이다.
정확히는, $O$를 고정하는 $\mathbb{R}^n$의 임의의 isometry는 $O$를 통과하는 hyperplane에 대한 reflection들의 product가 된다. 이러한 isometry를 orientation-preserving isometry라고 부른다.
$O$를 통과하는 hyperplane $H$는 $\mathbb{R}^n$의 $(n-1)$-차원 subspace이다. 그리고 $H$에서의 reflection은 $\mathbb{R}^n$의 linear map이며 $H$의 원소를 고정시키고 $H$와 orthogonal한 vector들을 반전시킨다.
Theorem 2.4.1 [Cartan-Dieudonné Theorem]
$O$를 고정하는 $\mathbb{R}^n$의 임의의 isometry는 $O$를 통과하는 hyperplane에 대한 많아야 $n$개의 reflection들의 product로 표현할 수 있다.
Proof.
$n$에 대한 induction을 사용할 것이다.
[$n=1$]
$O$를 고정시키는 $\mathbb{R}$ 위의 isometry는 오직 identity와 $x \mapsto -x$ 두 가지 뿐이다. 후자는 $O$에 대한 reflection.
[Induction]
이제 $n=k-1$에서 정리가 성립한다고 가정하자.
$f$를 $O$를 고정시키는 $\mathbb{R}^k$의 isometry라고 하자. $f$가 identity가 아니면, $f(v) = w \not= v$인 $v \in \mathbb{R}^k$가 존재한다.
이제 $u = v-w$에 orthogonal한 hyperplane에 대한 reflection $r_u$를 생각하자. $r_u$는 $u$의 실수 배 subspace인 $\mathbb{R}u$를 자기 자신으로 옮긴다. 그러면 composite map $r_uf$는 $\mathbb{R}^k$의 subspace인 $\mathbb{R}v$ 위의 identity가 될 것이다.
위 그림에서 $v$를 연장한 벡터를 $f$에 의해 회전시키고 $H$에 의해 반전시키면 제자리로 돌아옴을 확인할 수 있다.
$r_uf$를 $\mathbb{R}v$에 수직인 $\mathbb{R}^{k-1}$에 restriction시키면, $r_uf$는 $\mathbb{R}^{k-1}$에 대한 isometry가 되므로 induction hypothesis에 의해 $k-1$개 이하의 reflection들의 product $g$로 나타낼 수 있다. 그러면 $r_uf=g$로부터 $f=r_ug$이므로, $f$는 $k$개 이하의 reflection들의 product로 표현된다.
따라서 induction에 의해여 모든 $n$에 대해 정리가 성립한다. $\square$
Thm. 2.4.1로부터 $\mathbb{R}^3$의 임의의 orientation-preserving isometry는 $0$개 또는 $2$개의 reflection들의 product로 표현할 수 있다는 사실을 알 수 있다. 1 따라서 이러한 isometry는 $O$를 통과하는 어떤 축에 대한 rotation이기도 하다.
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홀수 개 reflection들의 곱은 orientation이 반대가 되어버린다. ↩