2.3 $SU(2)$ and $SO(3)$
"지옥 끝까지 함께 갈 친구들"
원점 $O$에 대한 $\mathbb{R}^2$의 rotation을 나타내는 group $SO(2)$는 기하학적으로 unit circle로 생각할 수 있었다. 1
Unit circle $\mathbb{S}^1$은 unit $n$-sphere $\mathbb{S}^n$ 시리즈의 첫 번째. $\mathbb{S}^n$는 $\mathbb{R}^{n+1}$ 위의 원점에서 거리가 $1$인 모든 점들의 집합이다. 그러므로 $\mathbb{S}^2$는 ordinary sphere.
그러나 안타깝게도 $\mathbb{S}^2$를 Lie group으로 만들어 줄 마땅한 product 연산은 존재하지 않는다. 사실, Lie group이 될 수 있는 건 $\mathbb{S}^3$밖에 없다!
Sec. 1.3을 다시 보자. Group $\mathbb{S}^3$의 각 점은 unit quaternion으로 생각할 수 있었다. 따라서 $\mathbb{S}^3$은 다음 $2 \times 2$ compled matrix들의 set이다.
\[Q = \begin{bmatrix} a+di & -b-ci \\ b-ci & a-di \end{bmatrix}, \qquad \textrm{det}(Q) = 1\]위와 같은 형태의 matrix를 unitary라고 말하며, $\mathbb{S}^3$는 special unitary group $SU(2)$라고도 할 수 있다. Unitary matirx에 관한 이야기는 Ch. 3과 Ch. 4로.
$SU(2)$는 $\mathbb{R}^3$ 상의 rotation을 나타내는 group $SO(3)$와 밀접한 연관이 있다. Sec. 1.5에서 봤듯이, $\mathbb{R}^3$ 상의 rotation은 antipodal unit quaternion의 pair $\{\pm t\}$와 일대일 대응을 이룬다.
\[q \mapsto t^{-1}qt\]또, $SO(3)$의 group operation은 quaternion multiplication에 대응된다. 한 rotation이 $t_1$에 대한 conjugation에 대응되고, 다른 rotation이 $t_2$에 대한 conjugation에 대응된다면 $t_1t_2$에 대한 conjugation은 product rotation에 대응된다.
물론, quaternion pair $\pm t$들에 대한 multiplication 규칙은
\[(\pm t_1)(\pm t_2) = \pm t_1t_2\]Definition 2.3.1
$3$-sphere $\mathbb{S}^3$ 위의 antipodal point pair $\{\pm q \}$들을 모아 놓은 것을 real projective space $\mathbb{RP}^3$라고 한다. Natural한 product에 의해 $\mathbb{RP}^3$는 group을 이룬다.
따라서 우리는 $SO(3)$를 unit quaternion pair로 이루어진 group $\mathbb{RP}^3$와 identify시킬 수 있다.
Map $\varphi : SU(2) \rightarrow SO(3)$을 $\varphi(t) = \{\pm t\}$로 정의하면, $\varphi$s는 2-to-1 homomorphism이 된다.2 그럼 $SO(3)$는 $SU(2)$보다 simple하지 않을까?
Theorem 2.3.2 [Simplicity of $SO(3)$]
Conjugation 연산 아래에서, $SO(3)$의 nontrivial subgroup은 $SO(3)$ 자신뿐이다.
Proof.
$H$를 $SO(3)$의 어떤 nontrivial subgroup이라고 하자. 그러므로 $H$는 nontrivial rotation을 포함한다. 그 rotation $h$를 축 $l$에 대한 각도 $\alpha$만큼의 rotation이라고 하자.
이제 $H$가 normal이라고 가정하자. 그러면 $H$는 $g \in SO(3)$에 대하여 모든 원소 $g^{-1}hg$를 갖게 된다. 만약 $g$가 축 $l$를 축 $m$으로 옮기는 rotation이라고 생각하면 $g^{-1}hg$는 어떤 의미일까?
$g^{-1}$이 축 $m$을 축 $l$로 옮기고, $h$가 축 $l$에 대해 각도 $\alpha$만큼 회전하며, $g$가 다시 $l$을 $m$으로 옮긴다. 따라서 $g^{-1}hg$는 축 $m$에 대한 각도 $\alpha$만큼의 rotation이 되는 것이다.
따라서, normal subgroup $H$는 모든 가능한 축에 대한 각도 $\alpha$만큼의 rotation을 포함하게 된다.
자, 우리가 원하는 건 $H$가 $SO(3)$ 자신이 된다는 걸 보이는 것이다. 즉 $H$는 $\mathbb{R}^3$의 모든 rotation을 가지고 있어야 한다. 다음 그림을 보자.
대원 $PR$에서부터 시작하자. 축 $P$를 중심으로 각도 $\alpha / 2$만큼 회전시키면 대원 $PG$가 된다. 이를 다시 축 $Q$를 중심으로 각도 $\alpha / 2$만큼 회전시키면 대원 $QR$이 된다. 이 두 회전에 의한 결과는 축 $R$에 대해 대원 $PR$을 어떤 각도 $\theta / 2$만큼 회전시킨 것과 같은 결과를 낳는다.
$R$에 대한 회전을 생각하자. 점 $P$는 대원 $PQ$ 위를 점 $Q$까지 특정 구간 안에서 연속적으로 움직일 것이다. 이때 각 $\theta$ 역시 어떤 구간 안에서 연속적으로 변화한다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[\frac{m \pi}{n}, \qquad m \textrm{ is odd}\]왜냐하면 $\mathbb{R}$ 안에서 $\pi$의 유리수 배는 dense하기 때문. 이 rotation을 $n$-회 product를 취해도 여전히 $H$ 안에 있다. 그리고 이는 축 $R$에 대한 $m \pi$만큼의 회전이 된다. 그러므로 $H$는 sphere 위의 임의의 점에 대한 각도 $\pi$만큼의 rotation을 포함한다.
이제 위 그림에서 $\alpha / 2 = \pi / 2$를 취하면, $0$에서 $2 \pi$ 사이의 임의의 각 $\theta$만큼의 rotation을 얻을 수 있다. 따라서 $H$는 $SO(3)$의 모든 rotation을 포함한다. $\square$