2.2 Shortcut for Homomorphism
"실전 압축 준동형사상"
Group 이야기를 계속하자. 일반적으로 $g, h \in G$에 대해 $gh \not= hg$이다. 이를 coset으로 확장해서, $H \leq G$에 대해
\[Hg = \{hg \ : h \in H \}\]이라고 하자. 이를 $H$의 right coset이라고 한다. 1 당연히 일반적으로는 $gH \not= Hg$이다.
Definition 2.2.1
$G$가 group이고 $H \leq G$라고 하자.
만약 모든 $g \in G$에 대해 $gH = Hg$이면, $H$를 $G$의 normal subgroup이라고 하며 $H \trianglelefteq G$라고 표현한다.
위 정의와 동치인 서술은 각 $g \in G$에 대해
\[H= g^{-1}Hg = \{g^{-1}hg \: h \in H \}\]인 것. 2
Normal subgroup이 왜 좋은지 보여주자면,
Theorem 2.2.2
Normal subgroup $H$의 coset들은 group을 이룬다.
이때 연산 규칙은 다음과 같다 : [$g_1$의 coset과 $g_2$의 coset의 곱은 $g_1g_2$의 coset.]
\[g_1H \cdot g_2H = g_1g_2H\]Proof.
먼저 위 연산이 well-defined인지 확인해야 한다. 만일 $g’_1H = g_1H$이고 $g’_2H = g_2H$이면 $g’_1g’_2H = g_1g_2H$일까?
\[\begin{align*} g'_1g'_2H &= g'_1Hg'_2 \quad \textrm{ since } g'_2H=Hg'_2 \\ &= g_1Hg'_2 \quad \textrm{ since } g'_1H=g_1H \\ &= g_1g'_2H \quad \textrm{ since } g'_2H=Hg'_2 \\ &= g_1g_2H \quad \textrm{ since } g'_2H=g_2H \\ \end{align*}\]이제 연산이 well-defined 되어있음을 확인했으니 coset들이 이 연산 아래에서 group을 이루는지 확인하면 된다. Definition 2.1.1을 되새기자.
(1) Associativity
\[g_1H(g_2Hg_3H) = g_1H(g_2g_3H) = g_1(g_2g_3)H\]그런데, $g_1, g_2, g_3$은 group $G$의 원소이므로 associativity가 성립한다. 즉 $g_1(g_2g_3) = (g_1g_2)g_3$이고
\[g_1(g_2g_3)H = (g_1g_2)g_3H = (g_1g_2H)g_3H = (g_1Hg_2H)g_3H\](2) Identity Element
임의의 coset $gH$에 대해
\[gH \cdot H = gH \cdot 1H = g \cdot 1 H = gH\]이므로 $H$ 자신이 identity 역할을 한다.
(3) Inverse Element
임의의 coset $gH$에 대해
\[gH \cdot g^{-1}H = gg^{-1}H = 1H = H\]이므로 inverse $g^{-1}H$가 존재한다.
따라서 group의 정의를 모두 만족하므로 normal subgroup $H$의 coset들로 이루어진 set은 group이다. $\square$
Definition 2.2.3
Coset들의 group을 $H$에 의한 $G$의 quotient group이라고 하며 $G/H$로 표기한다.
명심하자. Quotient group $G/H$는 오직 $H$가 normal subgroup일 때만 존재한다.
Quotient group $G/H$는 어떤 group일까? Sec.2.1로 돌아가 잘 생각해보면, coset은 어떤 subgroup $H$에 $G$의 원소 $g$를 곱해서 만들어졌다. 그렇단 말이지…
Example 2.2.4
$H \trianglelefteq G$라고 하자.
Map $\varphi : G \rightarrow G/H$를 다음과 같이 정의하자.
\[\varphi(g) = gH \qquad \forall g \in G\]그러면 coset들의 product의 정의에 의하여
\[\varphi(g_1g_2) = g_1g_2H = g_1H \cdot g_2H = \varphi(g_1) \cdot \varphi(g_2)\]즉, map $\varphi$는 연산을 보존한다.
Definition 2.2.5
한 group에서 다른 group으로의 map $\varphi : G \rightarrow G’$가 product 연산을 보존한다면, map $\varphi$를 homomorphism이라고 부른다.
Homomorphism은 group structure 역시 보존한다.
(1) $g = 1g$이므로, $\varphi(g) = \varphi(1g) = \varphi(1)\varphi(g)$. 이제 양변에 $\varphi(g)^{-1}$를 곱하면 $1 = \varphi(1)$.
(2) $1 = gg^{1}$이므로, $1 = \varphi(1) = \varphi(gg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(g^{-1})$. 따라서 $\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1}$. 왜냐하면 $\varphi(g)$의 inverse는 unique하니까.
그러므로 homomorphism $\varphi$의 image $\varphi(G)$는 원래의 group $G$와 꽤나 닮았다. 완전히 똑같냐고 하면 그건 아니다. 서로 다른 $g_1, g_2$가 같은 원소로 옮겨질 수도 있으니…
Definition 2.2.6
Group $G$에서 $G’$로의 map $\varphi$가 one-to-one이고 onto이면, $G$와 $G’$는 isomorphic하다고 한다. 이때의 $\varphi$를 isomorphism이라고 한다.
다음에 등장할 것은 Fundamental Homomorphism Theorem of Groups이라고 불리는 매우 중요한 정리.
Definition 2.2.7
다음을 만족하는 $G$의 subgroup $H$를 homomorphism $\varphi$의 kernel이라고 한다.
\[H = \textrm{ker} \ \varphi = \{g \in G \ : \varphi(g) = 1\}\]Theorem 2.2.8 [Fundamental Homomorphism Theorem of Groups]
Onto인 homomorphism $\varphi : G \rightarrow G’$를 생각하자. 그러면 $G’$는 $G/(\textrm{ker} \ \varphi)$와 isomorphic하다.
Proof.
[1. $\textrm{ker} \ \varphi$는 group]
\[\begin{align*} h_1, h_2 \in \textrm{ker} \ \varphi &\Rightarrow \varphi(h_1) = \varphi(h_2) = 1 \\ &\Rightarrow \varphi(h_1) \varphi(h_2) = 1 \\ &\Rightarrow \varphi(h_1h_2) = 1 \\ &\Rightarrow h_1h_2 \in \textrm{ker} \ \varphi \end{align*}\]또,
\[\begin{align*} h \in \textrm{ker} \ \varphi &\Rightarrow \varphi(h) = 1 \\ &\Rightarrow \varphi(h)^{-1} = 1 \\ &\Rightarrow \varphi(h^{-1}) = 1 \\ &\Rightarrow h^{-1} \in \textrm{ker} \ \varphi \end{align*}\][2. $\textrm{ker} \ \varphi$는 normal subgroup]
임의의 $g \in G$에 대해,
\[\begin{align*} h \in \textrm{ker} \ \varphi &\Rightarrow \varphi(ghg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(h)\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)1\varphi(g)^{-1} = 1 \\ &\Rightarrow ghg^{-1} \in \textrm{ker} \ \varphi \end{align*}\]그러므로 $g(\textrm{ker} \ \varphi)g^{-1} = \textrm{ker} \ \varphi$이고, 따라서 $\textrm{ker} \ \varphi$는 normal.
[3. $G’$와 $G/\textrm{ker} \ \varphi$ 사이의 대응]
각 $g’ = \varphi(g) \in G’$가 coset $g(\textrm{ker} \ \varphi)$에 대응됨을 보이자. 실제로 $g(\textrm{ker} \ \varphi) = \varphi^{-1}(g’)$가 되는데,
\[\begin{align*} k \in \varphi^{-1}(g') &\Leftrightarrow \varphi(k) = g' \\ &\Leftrightarrow \varphi(k) = \varphi(g) \\ &\Leftrightarrow \varphi(g)^{-1}\varphi(k) = 1 \\ &\Leftrightarrow \varphi(g^{-1}k) = 1 \\ &\Leftrightarrow g^{-1}k \in \textrm{ker} \ \varphi \\ &\Leftrightarrow k \in g(\textrm{ker} \ \varphi) \end{align*}\][4. $G’$의 원소의 product가 대응되는 coset들의 product에 대응]
$g’_1 = \varphi(g_1), g’_2 = \varphi(g_2)$라고 하자. 그러면 Step 3에 의해
\[\varphi^{-1}(g'_1) = g_1(\textrm{ker} \ \varphi) \\ \varphi^{-1}(g'_2) = g_2(\textrm{ker} \ \varphi) \\\]그런데 이들의 곱은
\[\begin{align*} g'_1 = \varphi(g_1), g'_2 = \varphi(g_2) &\Rightarrow g'_1g'_2 = \varphi(g_1)\varphi(g_2) = \varphi(g_1g_2) \\ &\Rightarrow \varphi^{-1}(g'_1g'_2) = g_1g_2(\textrm{ker} \ \varphi) \end{align*}\]그러므로, product $g’_1g’_2$는 $g_1g_2(\textrm{ker} \ \varphi)$에 대응되며, 이는 각각 $g’_1$와 $g’_2$에 대응되는 coset들의 product이다.
따라서, $G$에서 $G’$로의 group homomorphism이 onto이면 이 homomorphism은 $G’$와 $G/(\textrm{ker} \ \varphi)$ 사이의 isomorphism이 된다.3 $\square$
Matrix group $G$에 대한 중요한 homomorphism을 소개.
Example 2.2.9
Determinant map
\[\textrm{det} : G \rightarrow \mathbb{C}^{\times}\]는 homomorphism이다. $\textrm{det}$는 multiplicative이기 때문.
\[\textrm{det} (AB) = \textrm{det} (A) \textrm{det} (B)\]이때 $\mathbb{C}^{\times}$는 nonzero complex number들의 multiplicative group.
$\textrm{det}$의 kernel은 determinant가 $1$인 matrix들의 group이 될 것이다. 당연히 이들은 $G$의 normal subgroup이 된다. Ch. 3을 기대하자.
$G$에서 $G’$로의 homomorphism이 여러 원소를 하나의 원소에 대응시킨다고 하자. (즉, one-to-one이 아니다.) 그러면 $G’$는 $G$보다 simple하다고 말할 수 있다.
이러한 이유로, 모든 원소를 $1$로 보내지 않는 한 저런 homomorphism이 존재하지 않는(더 simple한 group이 없는) 경우, 그러한 group을 simple group이라고 말한다. 다시말해,
Definition 2.2.10
어떤 nontrivial group이 자기 자신과 trivial group을 제외한 normal subgroup을 가지지 않을 때, 그 group을 simple하다고 말한다.