2.1 Shortcut for Groups
"실전 압축 군론"
Definition 2.1.1
Group $G$는 product와 inverse 연산이 존재하고, identity element $1$이 존재하며, 다음 규칙을 만족하는 set이다.
(1) 모든 $g_1, g_2, g_3 \in G$에 대해
\[g_1(g_2g_3) = (g_1g_2)g_3\](2) 모든 $g \in G$에 대해
\[g1 = 1g = g\](3) 모든 $g \in G$에 대해
\[gg^{-1} = g^{-1}g = 1\]Example 2.1.2
Group $G$의 원소 $1$은 유일.
임의의 $g \in G$에 대해 $g^{-1}$도 유일.
Proof.
임의의 $g \in G$에 대해 식 $gg’=g$의 양변의 왼쪽에 $g^{-1}$를 곱하면 $g\prime = 1$.
비슷하게, 각 $g \in G$에 대해 $gg’'=1$를 만족하는 $g’'$는 $g^{-1}$. $\square$
위에서 언급한 product, inverse, identity는 모두 multiplicative notation이다. 숫자, quaternion, matrix로 이루어진 여러 group들이 이 연산을 갖는다.
반면 sum 연산을 갖는 group도 존재. 예를 들면 $\mathbb{R}^n$ 위에서의 vector space. 이 경우 우리는 additive notation을 사용한다. $g_1, g_2 \in G$의 sum을 $g_1+g_2$로, $g \in G$의 inverse를 $-g$로, identity를 $0$으로 쓴다.
단, additive notation은 오직 $G$가 abelian일 때만 사용.
\[g_1+g_2 = g_2 + g_1 \qquad \forall g_1, g_2 \in G\]Group은 일반적으로 abelian이 아니므로, $h$를 $g$에 곱하고자 할 때는 왼쪽에 곱하는지 오른쪽에 곱하는지를 명시해 주어야 한다. $gh$와 $hg$는 같지 않다!
Definition 2.1.3
$G$를 group이라고 하자.
$G$의 subset $H$가 nonempty이고, $G$의 product, inverse 연산에 대해 닫혀 있으면 $H$를 $G$의 subgroup이라고 하며 $H \leq G$라고 쓴다.
$G$의 각 subgroup $H$에 대해, $G$를 $H$의 coset이라는 disjoint한 조각들로 쪼갤 수 있다. Left coset은 다음과 같은 형태를 갖는다.
\[gH = \{gh \ : h \in H \}\]$g=1$일 때를 생각하면 $H$ 자신 역시 coset.
Coset $gH$를 $g$에 의해 translated된 $H$라고 표현하기도 한다. 예시로 $G$가 vector addition 연산 아래에 있는 $\mathbb{R}^2$ 평면 위의 점 $(x,y)$들로 이루어진 group이라고 하자. $H$는 점 $(0, y)$들로 이루어진 subgroup이라고 하자. 이때 additive notation으로부터 우리는 coset을 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[(x,y)+H = \{(x,y) \ : y \in \mathbb{R}\}, \qquad x \textrm{ is constant}\]그러면 $H$는 $y$-축이며 coset $(x,y) + H$는 $H$를 벡터 $(x,y)$만큼 trasnlation 시킨 것과 같다.
위 예시로 $G$가 어떻게 disjoint coset들로 분해되는지 확인할 수 있다. 평면이 평행선들로 분해되었다. 또한 서로 다른 $g \in G$가 같은 coset $gH$를 이룰 수 있음을 알 수 있다. 예를 들어 $(1,0)+H$와 $(1,1)+H$는 모두 수직선 $x=1$을 나타낸다.
Example 2.1.4
각각의 coset $gH$와 $H$ 사이에는 one-to-one correspondence가 존재.
Proof.
각 $h \in H$에 대해 양변의 왼쪽에 $g$를 곱하면 $gh \in gH$를 얻는다. 반대로 각 $gh \in gH$에 대해 양변의 왼쪽에 $g^{-1}$을 곱하면 $h \in H$를 얻는다. $\square$
Example 2.1.5
서로 다른 coset은 disjoint.
Proof.
귀류법. $g \in g_1H$, $g \in g_2H$라고 하자. 그러면
\[g = g_1h_1 = g_1h_2 \qquad \textrm{ for some } h_1, h_2 \in H\]즉 $g_1 = g_2h_2h_1^{-1}$이다. 1 그런데, $h_2h_1^{-1}$는 $H$의 원소이므로 $h_2h_1^{-1}H = H$이다. 따라서,
\[g_1H = g_2h_2h_1^{-1}H = g_2(h_2h_1^{-1}H) = g_2H\]이므로 모순. $\square$
딱 이 정도 기초 group theory만으로 도출할 수 있는 놀라운 결과를 하나 소개.
Proposition 2.1.6
3-sphere $\mathbb{S}^3$은 disjoint congruent circle들로 분해될 수 있다.
Proof.
먼저 Sec.1.3에서 봤듯이, unit quaternion $a + b \textbf{i} + c \textbf{j} + d \textbf{k}$는
\[a^2+b^2+c^2+d^2=1\]을 만족시키며 3-sphere $\mathbb{S}^3$를 형성한다.
Unit quaternion들은 또한 group을 이루는데, product와 inverse의 결과가 모두 unit quaternion이기 때문.
자, unit quaternion들을 모아 놓은 group을 $G$라고 하자. $G$의 어떤 subgroup $H$는 원소 $\cos \theta + \textbf{i} \sin \theta$를 가질 것이다. 그러면 $H$는 $1$과 $\textbf{i}$로 span되는 2D 평면상의 unit circle을 구성한다.
즉, 임의의 coset $qH$ 또한 unit circle. 왜냐하면 단위 길이의 quaternion $q$를 곱하는 것은 isometry이기 때문이다.2
Coset $qH$들은 모두 disjoint하며 전체 group을 채우기 때문에, 3-sphere $\mathbb{S}^3$가 unit circle로 채워진다는 것을 알 수 있다. $\square$ 3