1.3 Quaternions

"증오스러운 4차원 친구"

Sec. 1.2에서는 순서쌍 $(a,b)$를 복소수 $a+bi$ 또는 행렬 \(\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}\)와 연관지어서 합, 곱, 절댓값에 대해 이야기했다.

같은 방법으로, 실수로 이루어진 ordered quadruple $(a,b,c,d)$에 대해서도 행렬로 나타낼 수 있다.

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Definition 1.3.1

\[q = \begin{bmatrix} a+di & -b-ci \\ b-ci & a-di \end{bmatrix} \tag{ $ \ast $ }\]

$(\ast)$ 형태의 matrix를 quaternion이라고 한다.¹

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Quaternion의 합, 곱이 역시 quaternion의 형태가 됨은 쉽게 보일 수 있다. Quaternion $q$의 squared absolute value $\vert q \vert^2$는 $q$의 determinant로 정의할 수 있다.

\[\textrm{det}q = \textrm{det}\begin{bmatrix} a+di & -b-ci \\ b-ci & a-di \end{bmatrix} = a^2+b^2+c^2+d^2\]

Quaternion의 합 연산 역시 교환법칙, 결합법칙, inverse, identity에 대한 성질을 갖는다. 알기 쉬우니 생략.

다만, 곱 연산에 대해서는 특이한 점이 있다. 교환법칙 $q_1q_2=q_2q_1$이 성립하지 않는다.

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Example 1.3.2

Quaternion 역시 basis matrix를 사용해

\[\begin{bmatrix} a+di & -b-ci \\ b-ci & a-di \end{bmatrix} = a \textbf{1} + b \textbf{i} + c \textbf{j} + d \textbf{k}\]

로 표현할 수 있다. 이때,

\[\textbf{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \textbf{i} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \textbf{j} = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix}, \textbf{k} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}\]

이로부터 다음 성질을 얻는다.

\[\textbf{i}^2 = \textbf{j}^2 = \textbf{k}^2 = \textbf{ijk} = -\textbf{1} \\ \textbf{i}\textbf{j} = \textbf{k}, \qquad \textbf{j}\textbf{i} = - \textbf{k} \\ \textbf{j}\textbf{k} = \textbf{i}, \qquad \textbf{k}\textbf{j} = - \textbf{i} \\ \textbf{k}\textbf{i} = \textbf{j}, \qquad \textbf{i}\textbf{k} = - \textbf{j}\]

물론 $\textbf{1}$은 숫자 $1$과 같은 성질.

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Example 1.3.3

Quatertion은 절댓값에 대한 multiplicative property는 determinant에 대한 multiplicative property에 대응.

\[\vert q_1q_2 \vert = \vert q_1 \vert \vert q_2 \vert \\ \textrm{det}(q_1q_2) = \textrm{det}(q_1)\textrm{det}(q_2)\]

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Example 1.3.4

임의의 nonzero quaternion $q$는 inverse $q^{-1}$을 갖는다. 행렬 $( \ast )$를 사용해 explicit formula를 얻으면,

\[q = a \textbf{1} + b \textbf{i} + c \textbf{j} + d \textbf{k} \not= 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad q^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}(a \textbf{1} - b \textbf{i} - c \textbf{j} - d \textbf{k})\]

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Example 1.3.5

Quaternion $q = a \textbf{1} + b \textbf{i} + c \textbf{j} + d \textbf{k}$의 conjugate $\overline{q}$는

\[\overline{q} = a \textbf{1} - b \textbf{i} - c \textbf{j} - d \textbf{k}\]

로 정의된다. 그러므로 quaternion과 그 conjugate의 곱은 절댓값의 제곱과 같다.

\[q \overline{q} = a^2+b^2+c^2+d^2 = \vert q \vert^2\]

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Example 1.3.6

Quaternion conjugate는 단순히 matrix $q$의 각 성분에 conjugate를 취한 것이 아니다. 실제로는 transpose를 취한 행렬 $q^T$와 같다. 그러므로 다음이 성립.

\[(q_1q_2)^T = q_2^Tq_1^T \\ \overline{(q_1q_2)} = \overline{q_2}\overline{q_1}\]

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Quaternion의 algebra는 1843년 Hamiltion이 발견. $\mathbb{H}$로 표기한다. 행렬 표기는 1858년에 Cayley가 밝혀낸다.

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Definition 1.3.7

절댓값이 $1$인 quaternion $a \textbf{1} + b \textbf{i} + c \textbf{j} + d \textbf{k}$를 unit quaternion이라고 하며 다음을 만족시킨다.

\[a^2+b^2+c^2+d^2 = 1\]

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Unit quaternion은 $\mathbb{R}^4$ 공간 내의 3-sphere $\mathbb{S}^3$을 구성한다. 이로부터 unit quaternion의 곱과 inverse는 다시 unit quaternion이 되므로, $\mathbb{S}^3$는 quaternion multiplication 아래에서 group을 이룬다는 것을 알 수 있다. 이는 unit complex number에서의 $\mathbb{S}^1$과 마찬가지.

$u$가 unit quaternion이라고 하자. $\cos \theta$니 $\sin \theta$니 계산할 것 없이 $u$의 곱셈이 평면에서의 rotation을 의미한다는 것을 알 수 있다.

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Example 1.3.8

$v$, $w$을 임의의 complex number라고 하자. $u$의 곱셈에 대한 둘의 image를 확인하면,

\[\begin{align*} \textrm{dist}(uv, uw) &= \vert uv-uw \vert \\ &= \vert u(v-w) \vert \\ &= \vert u \vert \vert v-w \vert \\ &= \vert v-w \vert \\ &= \textrm{dist}(v, w) \end{align*}\]

그러므로 $u$의 곱셈은 두 complex number 사이의 거리를 보존한다. 다시말해, $\vert u \vert=1$인 $u$에 대한 곱셈은 rigid motion이며, plane 위에서의 isometry.

게다가 이 isometry는 원점 $O$를 고정하는데, $u0=0$이기 때문. 또한 $u \not= 1$이면 원점 이외에 어떤 점 $v$도 고정되지 않는다. $uv=v$로부터 $u=1$이기 때문. 이러한 성질을 만족하는 운동은 $O$에 대한 rotation뿐이다!

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유사한 논의를 quaternion multiplication에서도 진행할 수 있다. 거리를 보존한다는 점에 주목하자.

$\mathbb{R}^4$ 위의 quaternion에 uniot quaternion을 곱한 결과는 원점을 고정시킨 $\mathbb{R}^4$의 isometry로 해석할 수 있다!

물론 이 $\mathbb{R}^4$의 isometry를 rotation으로서 해석하는 것도 좋지만 우리가 필요한 건 역시 $\mathbb{R}^3$의 rotation이다.

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Definition 1.3.9

Pure imaginary quaternion은 다음 형태의 quaternion이다.

\[p = b \textbf{i} + c \textbf{j} + d \textbf{k}\]

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Pure imaginary quaternion으로 3-D space $\mathbb{R}^3 = \mathbb{R}\textbf{i} + \mathbb{R}\textbf{j} + \mathbb{R}\textbf{k}$를 구성한다. Space $\mathbb{R}\textbf{i} + \mathbb{R}\textbf{j} + \mathbb{R}\textbf{k}$는 real quaternion $a \textbf{1}$의 orthogonal complement라고 부른다.

$\mathbb{R}\textbf{i} + \mathbb{R}\textbf{j} + \mathbb{R}\textbf{k}$의 원소의 합은 당연히 $\mathbb{R}\textbf{i} + \mathbb{R}\textbf{j} + \mathbb{R}\textbf{k}$의 원소. 그러나 곱은 그렇지 않다.

\[u = u_1 \textbf{i} + u_2 \textbf{j} + u_3 \textbf{k} \\ v = v_1 \textbf{i} + v_2 \textbf{j} + v_3 \textbf{k} \\\] \[\begin{align*} uv &= -(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3) \\ &+ (u_2v_3-u_3v_2)\textbf{i} - (u_1v_3-u_3v_1) \textbf{j} + (u_1v_2-u_2v_1) \textbf{k} \end{align*}\]

어라. 어디서 많이 본 식인데?

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Example 1.3.10

\[uv = -u \cdot v + u \times v\]

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$u \cdot v$는 실수이므로, $uv$가 $\mathbb{R}\textbf{i} + \mathbb{R}\textbf{j} + \mathbb{R}\textbf{k}$의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 $u \cdot v=0$. 즉 $u$가 $v$와 orthogonal할 때이다.

또한 $uv$가 실수가 될 필요충분조건은 $u \times v = 0$. 즉 $u$와 $v$가 같은(혹은 반대) 방향일 때. 특히 $u \in \mathbb{R}\textbf{i} + \mathbb{R}\textbf{j} + \mathbb{R}\textbf{k}$이고 $\vert u \vert=1$이면

\[u^2 = -u \cdot u = -\vert u \vert^2 = -1\]

그러므로 $\mathbb{R}\textbf{i} + \mathbb{R}\textbf{j} + \mathbb{R}\textbf{k}$의 모든 unit vector는 square root of -1.

Quaternion에 관한 더 자세한 내용은 Robotics Sec 1.5를 참조.

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1. Quadruple을 행렬 표현으로 나타내는 방법에는 이것만 있는 것은 아니다. 이렇게 정한 이유는 $c=d=0$일 때 complex number가 되도록 하기 위함. ↩