1.2 Complex Numbers
"복소수, 이제는 행렬로 보자"
어떻게 행렬 $R_{\theta}$가 복소수 $z_{\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$랑 비슷한 결과를 냈을까?
$R_{\theta}$을 다음 linear combination으로 볼 수 있다.
\[R_{\theta} = \cos \theta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]이때 basis matrix는
\[\textbf{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \textbf{i} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]이고, 다음 성질을 만족함을 확인할 수 있다.
\[\textbf{1}^2 = \textbf{1} \\ \textbf{1}\textbf{i} = \textbf{i}\textbf{1} = \textbf{i} \\ \textbf{i}^2 = - \textbf{1}\]즉, 행렬 $\textbf{1}$과 $\textbf{i}$는 복소수 $1$, $i$와 같은 역할을 한다.
Example 1.2.1
Matrix
\[\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} = a \textbf{1}+ b \textbf{i}, \qquad a,b \in \mathbb{R}\]는 복소수 $a+bi$와 덧셈, 곱셈에 대해 똑같은 성질을 갖는다. 그러므로 우리는 모든 복소수를 $2 \times 2$ real matrix로 나타낼 수 있다.
Example 1.2.2
복소수 $a+bi$의 squared absolute value $\vert a+bi \vert^2 = a^2+b^2$는 이에 대응되는 행렬의 determinant와 같다.
\[\textrm{det} \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} = a^2+b^2\]따라서 절대값의 곱셈에 대한 성질 $\vert z_1z_2 \vert = \vert z_1 \vert \vert z_2 \vert$는 determinant의 곱셈에 대한 성질에 대응된다.
\[\textrm{det}(A_1A_2) = \textrm{det}(A_1) \textrm{det}(A_2)\]물론 $A_1$, $A_2$는 각각 $z_1$, $z_2$에 대응되는 행렬.
Example 1.2.3
복소수 $z = a+bi \not= 0$의 inverse $z^{-1} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}$는 대응되는 행렬의 inverse에 대응된다.
\[\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}\]$z_1 = a_1+b_1i$, $z_2 = a_2+b_2i$라고 하면 절댓값의 성질에 의해,
\[(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) = (a_1a_2-b_1b_2)^2 + (a_1b_2+a_2b_1)^2\]이 등식의 신기한 점은 다름아니라, 두 제곱수의 합과 두 제곱수의 합의 곱은 두 제곱수의 합이라는 점.1
그러나 아쉽게도 세 제곱수의 합을 곱한 것이 반드시 세 제곱수의 합으로 나타나지는 않는다. 예를 들면,
\[(1^2+1^2+1^2)+(0^2+1^2+2^2) = 3 \times 5 = 15\]이지만 $15$는 세 정수의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 그게 어쨌다고?
Example 1.2.4
3-dimensional number는 존재하지 않는다.
실제로는 임의의 $n>2$에 대해 $n$-dimensional number는 존재하지 않는다.2
그러나, $n=4$의 경우는 조금 아까운 친구가 있다. 다른 건 다 성립하는데 아쉽게도 commutative law가 성립하지 않는 친구가…3