1.1 Rotations of Plane
"Lie Theory의 시작"
$\mathbb{R}^2$ 상에서 원점 $O$를 기준으로 각도 $\theta$만큼의 rotation은 linear transformation $R_{\theta}$. $R_{\theta}$는 vector $(1, 0)$와 $(0, 1)$을 각각 $(\cos \theta, \sin \theta)$, $(-\sin \theta, \cos \theta)$로 보낸다.
따라서 일반적으로 $R_{\theta}$의 선형성에 의해,
\[(x, y) = x(1, 0)+y(0,1) \quad \mapsto \quad (x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)\]그러므로 $R_{\theta}$의 행렬 표현은
\[\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\]$(x, y)$의 rotation은 column vector $\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}^T$의 왼쪽에 $R_{\theta}$를 곱한 것과 같다.
\[R_{\theta} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{bmatrix}\]따라서 rotation $R_{\varphi}$와 $R_{\theta}$를 차례로 적용한 것과 product matrix $R_{\theta}R_{\varphi}$를 적용한 것은 같다.
이로써 우리는 연속된 rotation을 행렬곱으로 표현할 수 있게 되었다. 기하학적 연산이 대수적 연산이 된 것.
Lie Theory의 주 목적은 바로 linear transformation의 group을 matrix group으로써 표현하는 것이다!
임의의 각 $\theta$에 대한 행렬 $R_{\theta}$은 special orthogonal group $SO(2)$라는 group을 이룬다.
$\mathbb{R}^2$의 각 rotation $R_{\theta}$는 복소수로도 표현할 수 있다.
\[z_{\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\]임의의 점 $(x, y) = x+iy$에 $z_{\theta}$를 곱하면,
\[\begin{align*} z_{\theta}(x+iy) &= (\cos \theta + i \sin \theta)(x, y) \\ &= x \cos \theta - y \sin \theta + i( x \sin \theta + y \cos \theta) \\ &= (x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta) \end{align*}\]역시 $(x,y)$를 각 $\theta$만큼 회전시킨 결과가 된다. 또한 product $z_{\theta}z_{\varphi}$는 $R_{\theta}$와 $R_{\varphi}$의 결합을 나타낸다.
그래서 Lie Group이 뭔데?
Definition 1.1.1
Lie group $G$는 smooth manifold의 group이다.
즉 manifold $G$ 위에서 product와 inverse 연산이 smooth하다는 의미. 그러나 지금 우리는 smooth manifold보다는 matrix Lie group에 관심이 있다.
Definition 1.1.2
Matrix Lie group은 product, inverse, nonsingular limit에 대해 닫혀 있는 $n \times n$ 행렬들의 set이다.
즉, $G$가 marix Lie group일 때,
(1) $A, B \in G$이면 $AB \in G$
(2) $A \in G$이면, $A^{-1} \in G$
(3) $A_1, A_2, A_3 \cdots$가 $G$의 수렴하는 행렬들의 sequence이고, $A = \lim_{k \to \infty}A_k$가 inverse를 가지면, $A \in G$